P2480 [SDOI2010] 古代猪文 题解

---

题目要求我们求出 $g^{\sum _{d|n}{C}_n^d}mod999911659$ 的值。

因为 $999911659$ 是一个质数，我们可以根据费马小定理，将式子化简为 $g^{\sum _{d|n}{C}_n^{d}mod999911658}mod999911659$。

显然 $999911658$ 不是一个质数。将其分解，可得 $999911658=2\times 3\times 4679\times 35617$。

卢卡斯定理解决不了模数非质数的情况，那么我们就需要把四个质因数都作为模数过一遍卢卡斯定理解决 $C_n^d$ 的值，算出 $\sum _{d|n}{C}_n^d$ 的值之后用中国剩余定理合并四个式子即可。
假设我们四次计算得到的结果分别是 $a_1$、$a_2$、$a_3$、$a_4$，那我们就需要解如下的同余方程组：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}2)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}3)\\ x\equiv a_3(\mathrm{mod}4679)\\ x\equiv a_4(\mathrm{mod}35617)\end{array}\end{array}$$

得到的 $x$ 就是一个可以接受的数据范围了。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 100010;
const int mod = 999911658;
int kpd(int a, int b)
{
    return b ? kpd(b, a % b) : a;
}
int fac[N], inv[N];
int a[5], b[5] = { 0,2,3,4679,35617 };
int qpow(int a, int x, int p)
{
    int res = 1;
    while(x)
    {
        if(x & 1)res = (res * a) % p;
        a = (a * a) % p;
        x >>= 1;
    }
    return res;
}
void init(int p)
{
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i < p; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
    inv[p - 1] = qpow(fac[p - 1], p - 2, p);
    for(int i = p - 1; i > 1; i--)
        inv[i - 1] = inv[i] * i % p;
    inv[0] = 1;
}
int C(int n, int m, int p)
{
    if(n < m)return 0;
    return fac[n] * inv[m] % p * inv[n - m] % p;
}
int lucas(int n, int m, int p)
{
    if(n < m)return 0;
    if(!n)return 1;
    return lucas(n / p, m / p, p) * C(n % p, m % p, p) % p;
}
signed main()
{
    int n, g;
    scanf("%lld%lld", &n, &g);
    if(g % (mod + 1) == 0)
    {
        puts("0");
        return 0;
    }
    for(int k = 1; k <= 4; k++)
    {
        init(b[k]);
        for(int i = 1; i * i <= n; i++)
        {
            if(n % i == 0)
            {
                a[k] = (a[k] + lucas(n, i, b[k])) % b[k];
                if(i * i != n)
                    a[k] = (a[k] + lucas(n, n / i, b[k])) % b[k];
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= 4; i++)
        ans = (ans + a[i] * (mod / b[i]) % mod * qpow(mod / b[i], b[i] - 2, b[i])) % mod;
    printf("%lld\n", qpow(g, ans, mod + 1));
    return 0;
}