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蜜袋鼯
JOI 2014 Final T4
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#0e1d69
解析
首先我们考虑一下我们的策略。
无论给出何种方案，我们都需要遵守一个原则：非必要不爬升，且爬升时只爬升至足够飞过去的高度即可。
证明
对于前半句，我们这样分析：
我们假设可以突破高度只能大于等于0的限制。
那我们就可以持续进行飞行操作，直到到达终点再向上爬到树顶。
也就是说，我们将我们的操作从一系列的“飞跃-爬升”操作变成了一串连续的飞跃操作和一个爬升操作。
显然，只要我们选择的路径一定，我们最后爬升的路程一定是一定的。
我们不妨设其为 $h$ 。
如果我们在这种情况下，选择在中间进行一次爬升操作，假设我们爬升的高度为 $h’$ 。
那么，我们到达最后的高度就是$H_N - h + h’$。
然而，我们总共还是爬升了 $h-h’+h’=h$ 的高度，总共爬升操作所用的时间也是不变的。
更何况我们还会遇到到一棵树正上方时高度大于树高的时候，这时候我们就只能降低高度，而在最后多的时间来爬升刚才降低的那一段距离。
这会导致如果我们瞎爬升的话，结果会劣于非必要不爬升的结果。
那么对于后半句，我们这样分析：
假设一种极限情况，一路上的树一棵比一棵矮，且每一次从树顶开始飞行都会飞跃目标树。
那么如果我们选择爬升的高度太多，就会导致爬升高度的浪费。
我们完全可以选择一种极端的情况，那么就是让我们的高度保持为0即可。
我们在每次飞跃一条边（假设其为 $(u,v)$ ）时，我们如果之前已经保持了高度为0的话，我们就只需爬升 $w_{(u,v)}$ 的高度即可，即到达 $v$ 点时高度仍然为零。而如果我们仍有高度$x$的话，我们就爬升 (x-w[(u,v)]>=0)?0:(w[(u,v)]-x) 即可。
如果按照这样操作的话，我们只会在达到高度为0之前的时候才可能下降高度以适配较低的树高，最终得到的就是最优的结果。
之后对每一条边进行分析。
对于每一条边 $(u,v)$ ，会有以下四种情况：
- 到达点正上方时的高度大于树高。
需要先向下爬到高度为 $h_v + w_{(u,v)}$ 的点才能从该边飞过，可以证明这是最优选择。
- 在飞行途中不得不落地。
我们无论如何都无法通过这一条边，只能在向有向图中加边时忽略这一条边。
- 不向上爬无法正常飞到下一个点。
根据上面的证明，我们只需向上爬升至高度 $w_{(u,v)}$ ，保证尽量靠近地面。
- 可以正常飞到下一个点。
直接飞跃即可。
这样这个问题就变成了一个最短路问题。
而对于最短路的寻找，我们采用dijkstra算法。
代码如下：
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 100005;
const int M = 300005;
int h[N], ne[M << 1], e[M << 1], w[M << 1], idx;
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
int val[N];
int n, m;
ll sum[N];
int H[N];
bool mark[N];
struct node
{
ll v;
int id;
bool operator < (const node &A)const
{
return v > A.v;
}
};
priority_queue<node> q;
void dijkstra(int at)
{
for(int i = 1; i <= n; i++)sum[i] = 1e18;
q.push({ 0,1 });
H[1] = at;
sum[1] = 0;
ll v;
while(!q.empty())
{
node now = q.top();
q.pop();
if(mark[now.id])continue;
mark[now.id] = 1;
int nh = H[now.id];
for(int i = h[now.id]; ~i; i = ne[i])
{
if(nh - w[i] > val[e[i]])
{
v = sum[now.id] + nh - w[i] - val[e[i]] + w[i];
if(sum[e[i]] > v)
{
sum[e[i]] = v;
H[e[i]] = val[e[i]];
q.push({ sum[e[i]],e[i] });
}
}
else if(nh - w[i] < 0)
{
v = sum[now.id] + w[i] - nh + w[i];
if(sum[e[i]] > v)
{
sum[e[i]] = v;
H[e[i]] = 0;
q.push({ sum[e[i]],e[i] });
}
}
else
{
if(sum[e[i]] > sum[now.id] + w[i])
{
sum[e[i]] = sum[now.id] + w[i];
H[e[i]] = nh - w[i];
q.push({ sum[e[i]],e[i] });
}
}
}
}
}
int main()
{
memset(h, -1, sizeof(h));
int at;
scanf("%d%d%d", &n, &m, &at);
for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &val[i]);
int a, b, c;
while(m--)
{
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
if(val[a] >= c)add(a, b, c);
if(val[b] >= c)add(b, a, c);
}
dijkstra(at);
if(sum[n] == 1e18)puts("-1");
else printf("%lld\n", sum[n] + val[n] - H[n]);
return 0;
}
|